円板の電界・電位

Question;
半径 a [m] の導体円板が一様な電荷密度 σ [C/m²] で帯電している。円板の中心軸上で、円板から y [m] 離れた点の電界と電位を求めよ。

また、a → ∞   [m] とおいて無限平板の電界を求め、ガウスの法則によって求めた場合と合致することを示せ。

Direction;
微小面積 dS = r drdφ   [m²] が含む微小電荷 dQ = σ dS   [C] の作る微小電位を積分して求める。電界は電位を微分して求める。


Solution;

V = σ ( √(y²+r²) - y ) /2ε₀   [V]
E = σ ( 1 - y/√(y²+a²) )   [V/m]