2017年5月4日木曜日

積分形の登場


電束密度 D = Q / S [C/m^2] の式より、
DS = Q [C] が導かれます。
 
先に面積ベクトルを定義しておきます。
 
Def; 面積ベクトル
・・・面積に垂直で、大きさが面積に等しいベクトル
 
電束は電気力線 1 / εo 本分を1本の束とみたもので、性質的には電気力線と変わりません
電束に対して面積をとる場合は、面に垂直な電束しかカウントされないゆえに、面積ベクトルと電束の成す角 θ とした時、垂直成分は cosθ なので上式は
 
(D cosθ)S = Q

となり、θが0° ならばDScosθ は DSとなります。
 
また、内積の表記を用いればD・S = Q と書けます。
これによって少し一般的になりましたが、この式が使えるのはあくまでも面積上のどこでも電束密度が一定の時の場合です。

今、面積の関数である電束密度  D(S) とすると、面積上の各部分で電束密度は一定とは限りませんが、微小面積dSであれば電束密度は一定としても問題がなさそうなので、微小面積にある微小電荷は dQ = D・dS となります。

ここで両辺を積分します。
∫ dQ = ∫ D・dS

左辺は ∫ dQ = Q となりますから、積分区間を面積全体として
D・dS = Q という式が導かれます。

小さい区間であれば一定とみなすことが大切です。