2017年4月25日火曜日

演習問題2.12 解説


2.12

Question;

電荷密度の大きさが σ [C/m^2] で、一様に帯電した半径 a [m] の薄い円板がある。円板の中心軸上で円板の中心から x [m] の点の電位と電界を求めよ。

Direciton;

パッと見て電界は x成分(円に垂直な成分)しか持たなさそうなので、求める電界 E = Ex としておきます。しかし、電界から求めようとすると大変で難しそうなので、先にスカラ量の電位を求めてから、それを x で微分して電界を出します。

円板全体を積分して電位を求めます。位置 r に微小幅 dr を考えます。半径 r 、微小角 dθ の円弧に drがあるようなイメージです・・・。なんとわかりにくい。近似の仕方ですが長方形の面積で近似します。

Solution;

V = σ ( √(x^2+a^2) - x ) / 2εo   [V]
E = σ ( 1 - x / √ (x^2 + a^2) ) / 2εo   [V/m]

a → ∞ にすればガウスの法則が使える無限平板の電界に一致します。