2017年2月7日火曜日

[講義note] マックスウェルの応力 (導出や応用例)

要点は、
電界の単位体積あたりのエネルギー密度w = (ED) / 2   とすると
電界のエネルギー密度w = 単為面積あたりの力f   が成り立つ。
この時 f をマックスウェルの応力という。(ゴムひもが縮まるようにはたらく)

本文:


電界のエネルギー(体積)密度は

w =( ED )  /2   [J/m^3]

と、電界と電束密度の積を2で割ったものである。


(w = (ED)/2 の導出)
エネルギーの式: U = ( QV ) /2   の式を用いる。
ファラデー管と呼ばれる管を考える。 Q [C] から Q 本のファラデー管が出るとする。ファラデー管の密度は電束密度に等しい。(電束 = ファラデー管と考えてもいいが、ファラデー管には体積がある。)
Q [C] あたり、U = (QV)/2   [J] のエネルギーを持つ。
ファラデー管の断面積 S   [m^2] 、長さ l   [m]  (今は円柱で考えて下さい!) とすると、
(体積) = Sl   なので、ファラデー管の持つ、単位体積当たりのエネルギー w は、
w = U / (体積 = Sl)
    = ( QV ) / 2( Sl )
これを微小体積中と考えると(電界は一定としてよい)
E = V / l
また、ファラデー管の密度は電束密度に等しいので
D = Q / S
これを代入して
w = ( ED ) / 2
(終了)



ファラデー管はゴムのような性質を持っていて、
長さ方向には常に縮まりあおうとする力 fa [N/m^2]
面積方向には常に広がりあおうとする力 fb [N/m^2]
がはたらき、静電界ではファラデー管にはたらく力はつりあっていることから
fa = fb
がわかる。

コンデンサの極板間の電界の持つエネルギーは、
w = (ED)/2
また、板間距離をΔx 縮めた時の(単位面積当たりの)エネルギー変化 ΔW は
ΔW = (ED Δx) /2
これが、した仕事 f・Δx に等しいので、
f = (ED) / 2    [N/m^2]
が得られる。

上の式は、
(エネルギー密度) = (単位面積あたりにはたらく力)
と解釈できる。
単位を見てみると、

J m^-3 = N  m^-2

J = Nm
なので単位は一致している。

(
磁界のエネルギー密度wとして
w = (HB) / 2
と表されて、磁界の場合も電界の時のように力を求める。
)



これを用いて例題を解いてみよう!

ex1; マックスウェルの応力を用いてコンデンサ板間の力を求める
ex1: マックスウェルの応力-1-